\documentclass[a4paper,12pt,russian]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % любая желаемая кодировка
\usepackage[pdftex,unicode]{hyperref}
\usepackage{array}
\usepackage[russian]{babel} 
\usepackage{cmap}
\usepackage{indentfirst} % включить отступ у первого абзаца
\usepackage[top=10mm,bottom=15mm,left=15mm,right=15mm,includehead,head=12pt,headsep=0cm,includefoot,foot=10pt]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[usenames]{color}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{listings}
\lstset{
  language=C, extendedchars=\true
}
\graphicspath{{images/}}
\title{Оценка максимального правдоподобия ЭПР цели при сопровождении}
\date{18-21 августа 2010 г.}
\author{Ёнг-Хун Джанг, Сан-Мог Хонг, Санг-Хонг Сео}

\linespread{1.5} % полуторный интервал

\begin{document} % начало документа
\maketitle

\section*{Аннотация} 
В данной статье предлагается метод максимпального правдоподобия (МП) для оценки
средней эффективной поверхности рассеяния (ЭПР), а также приводится численное
решение для данного подхода на базе обобщенного метода оценки-максимизации (ООМ).
Точность оценки данного подхода сравнивается с прежде освещенными процедурами.

\section{Введение}
Расстановка лучей в фазированной антенной решетке является широко известной проблеммой, и ей посвящено большое количество литературы [1]-[6] и там упомянутой.
Целью расстановки является минимализация использования ресурсов локатора
во время сопровождения цели. При расстановке лучей для обновления цели
одним из принципиальных параметров, которые необходимо отрегулировать,
является мощность. Передаваемая мощность влияет на отношение сигнал-шум (ОСШ)
отражаемого сигнала от облучаемой цели. ОСШ прямо пропордционально
передаваемой мощности и ЭПР цели [7].

Часто пытаются поддерживать ОСШ близким к оптимальному значению для 
эффективного обновления цели. Передаваемая мощность релуглируется при данной
попытки таким образом, чтобы достигалась желаемая ОСШ. В силу того, что
ЭПР цели неизвестно, требуется регулировать мощность на основе оценки
средней ЭПР [7]. Алгоритмическая процедура оценки средней ЭПР приведена в [1], [2].
Процедура, обозначенная как оценка на базе медианной разницы (ОМР), осуществляет
оценку ЭПР в зависимости от медианной разницы между измерениями ОСШ принятых
сигналов в скользящем окне и соответствующими предполагаемыми сигналами.
В данной статье представлен подход на базе максимального правдоподобия (МП)
для оценки средней ЭПР, а также приводится численное решение на базе обобщенного
метода оценки-максимизации (ООМ). Были проведены численные эксперименты для
сравнения производительности оценки на базе МП и ОМР. Результаты экспериментов
показывают, что оценка на базе МП может быть успешно произведена даже при 
низких ОСШ, при которых не функционирует ОМР.

\section{Модель ЭПР}
ЭПР зависит от многих факторов, включая свойства электромагнитного рассеяния
цели и углы обзора; как правило, она статистически характеризуется моделью Сверлинга
[7]. Мы предполагаем, что модель флуктуаций ЭПР цели является моделью
Сверлинга 1-го типа. Мощность принятого сигнала цели с флуктуациями меняется
от обзора к обзору независимо, и она характеризуется случайной величиной
с экспоненциальным распределением. Мощность сигнала для обзора номер $k$
нормализованная в соответствии со спектральной плотностью шума, обозначенной
$z_k$, имеет следующую ПРВ:

\begin{equation}
\label{eq:1}
f(z_k) = \frac{1}{1 + \overline{SNR_k}} exp\left(-\frac{z_k}{1+\overline{SNR_k}}\right)
\end{equation}

где $\overline{SNR_k}$ обозначает средную ЭПР на обзоре $k$. Заметим, что
$\overline{SNR_k}$ пропорциональна средней ЭПР, обозначенной $\overline{\sigma}$.
То есть $\overline{SNR_k} = \alpha_k \overline{\sigma}$, где $\alpha_k$ -- известная
константа, зависящая от габаритов цели и передаваемой мощности в момент $k$ [7].

Обнаружение цели происходит, когда мощность сигнала выше, чем заданный порог,
который может быть представлен в терминах вероятности ложной тревоги $P_F$.
Для конкретности:

\begin{equation}
\label{eq:2}
z_k \ge -lnP_F
\end{equation}

Обнаружение цели в соответствии с \ref{eq:zk} определяет соотношение между
вероятностью обнаружения в момент $k$ ($P_{Dk}$), вероятностью
ложной тревоги $P_F$, а также $\overline{SNR_k}$, так что

 \begin{equation}
 \label{eq:3}
 P_{Dk} = P_F^{\frac{1}{1+\overline{SNR_k}}}
 \end{equation}
 
 Вероятность ложной тревоги $P_F$ представляет вероятность обнаружения ложного 
 измерения вследствие вмешательства шума. Заметим, что $P_F$ является
 заранее определенной константой.
 
 \section{МП-оценка ЭПР}
 В [1], [2] представлена алгоритмическая процедура (ОМР) для оценки средней ЭПР.
 Данная процедура производит регулирование средней оценки ЭПР по уровню $0.5$
 дБ, когда медианная разность между ОСШ измерений отраженных сигналов в
 скользящем окне и соответствущего предсказанного значения -- $1$ дБ и более.
 В случае пропуска цели, оценка уменьшается на $0.5$ дБ. В данном разделе
 представлена МП-оценка средней ЭПР $\overline{\sigma}$, а также соответствующее
 численное решение. В контектсе задачи, поставленной в [1], [2], мы допускаем,
 что вероятность $P_F$ достаточно мала, так что при возникновении обнаружения
 мы относим его к сопровождаемой цели. Исходя из этого допущения, мы получаем
 оценку $\overline{\sigma}$ из последовательности обнаружений и пропусков в
 скользящем окне из $N$ обнаружений.
 
 Допустим, что $\overline{\sigma}$ постоянно в скольщем окне и допустим, что мы имеем
 последовательность из $N$ обнаружений и $L$ пропусков в окне. Обозначем
 $D$ -- множество индексов обзоров, содержащих обнаружения, а $\overline{D}$ -- 
 не содержащих. Также обозначим $\textbf{D}_k$ -- событие, что обнаружение
 произошло на $k$-ом обзоре. Поскольку мощность принимаего сигнала -- случайная
 величина, такая, что ее отсчеты для разных $k$ являются независимыми,
 пропуски и обнаружения формируют независимую последовательность.
 В частности, вероятность (ПРВ) обнаружений определяется как
 $c \left(\prod_{i \in D} f(z_i|\textbf{D}_i)\right) \left(\prod_{i \in D} P[\textbf{D}_i]\right)
 \left(\prod_{j \in D}(1 - P[\textbf{D}_j])\right)$, где $c$ -- нормирующая константа
 и $f(z_i|\textbf{D}_i)$ -- условная ПРВ мощности сигнала для события $\textbf{D}_i$.
 Подставляя \ref{ex:1} и \ref{ex:3} с $\overline{SNR}_k = \alpha_k \overline{\sigma}$ в
 указанную ПРВ, получаем неполную логарифмическую функцию правдоподобия
 для параметра $\overline{\sigma}$, которая определяется как:
 
 \begin{equation}
 \label{eq:4}
 lnL(\overline{\sigma}) = -\sum\limits_{i \in D}
 \left(ln(1 + \alpha_i \overline{\sigma})
 + \frac{z_i}{1 + \alpha_i\overline{\sigma}}
 \right)
 +
 \sum\limits_{j \in \overline{D}}
 ln(1 - P_F^\frac{1}{1 + \alpha_j\overline{\sigma}})
 \end{equation}
 
 По критерию МП оценка ЭПР записывается как:
 \begin{equation}
 \label{eq:5}
 \overline{\sigma}_{ML} = arg\max_{\overline{\sigma}} ln L(\overline{\sigma})
 \end{equation}
 
 МП-оценка в \ref{eq:5} аналитически не разрешается, так что мы применяем
 ОМ-алгоритм для нахождения решения. ОМ-алгоритм -- эффективный итеративный
 алгоритм для нахождения МП-оценки параметров модели из заданного множетсова
 в настоящем времени при наличии неполных или отсутсвующих данных [8].
 Заметим, что различные проблемы сопровождения целей сформулированы и решены
 при помощи инструментария ОМ-алгоритма [9] -- [11]. Обозначим $\textbf{D}_j$
 -- событие, что мы пропускаем обнаружение в $j$-ом обзоре, а $y_j$ -- неизвестную
 (или отсутствующую) мощность сигнала в пропуске. Дополненная логарифмическая
 функция правдоподобия $ln L_c{\overline{\sigma}}$ может быть записана как:
 
 \begin{equation}
 lnL_c{\sigma} = -\sum\limits_{i \in D}
  \left(
    ln(1 + \alpha_i\overline{\sigma}) + \frac{z_i}{1 + \alpha_i\overline{\sigma}}
  \right)
  -
  \sum\limits_{j \in \overline{D}}
  \left(
    ln(1 + \alpha_j\overline{\sigma}) + \frac{y_j}{1 + \alpha_j\overline{\sigma}}
  \right)
\end{equation} 
 
 Обозначим как $Q(\overline{\sigma}, \overline{\sigma}^{l-1})$ -- матожидание
 дополненной логарифмической функции правдоподобия с учетом неизвестной
 мощности сигнала, полученной для наблюдений $\{z_i : i \in D \}$ и текущей
 оценки параметра $\overline{\sigma}^{l-1}$. При этом:
 
 \begin{equation}
 Q(\overline{\sigma}, \overline{\sigma}^{l-1}) =
 E[lnL_c(\overline{\sigma})|{z_i : i \in D}, \sigma^{l - 1}]
 \end{equation}
 
 На $l$-ой итерации ОМ-алгоритма, оценка $Q(\overline(\sigma),\overline{\sigma}^{l-1})$
 максимизируется по $\overline{\sigma}$, и $\overline{\sigma}^l$ обновляется 
 максимизатором:
 
 $$
   \overline{\sigma}^l = arg\max_{\overline{\sigma}} Q(\overline{\sigma}, \overline{\sigma}^{l-1})
 $$
 
 Заметим, что каждая итерация гарантированно увеличивает функцию логарифмическую
 функцию правдоподобия \ref{eq:4} и ОМ-алгоритм оптимальным образом устремляет
 $\overline{\sigma^l}$ к значению, максимизирующему функцию правдоподобия [8].
 
 <...>
 
\end{document} % конец документа
